Цифровая обработка изображений учебное пособие

Год публикации: 2008

Библиографическая ссылка:: Фисенко В.Т., Фисенко Т.Ю. Компьютерная обработка и распознавание изображений: Учебное пособие. — СПб.: СПбГУ ИТМО, 2008. — 192 с.

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

В пособии приведены методы компьютерной обработки и распознавания изображений. Рассмотрены математические модели изображений, критерии качества изображений. Описываются основные алгоритмы цифровой обработки и распознавания изображений, в том числе основы яркостных преобразований, преобразования цветовых координатных пространств, пространственной и частотной фильтрации, морфологических операций, кодирования, сегментации и классификации, а также анализа изображений. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 200600 — «Фотоника и оптоинформатика».

Цифровая обработка изображений учебное пособие

Грузман И.С., Киричук В.С., Косых В.П., Перетягин Г.И., Спектор А.А. Цифровая обработка изображений в информационных системах: Учебное пособие.- Новосибисрк: Изд-во НГТУ, 2002. — 352 c.

Цифровая обработка изображений — интенсивно развивающаяся научная область, которая находит все более широкое применение в различных информационных технических системах: радиолокационных, связи, телевизионных и т.п. В данном учебном пособии рассмотрены следующие задачи обработки изображений: дискретизации и квантования, улучшения визуального качества путем поэлементного преобразования, подавления помех и восстановления, геометрического преобразования и привязки, фотограмметрии и стереовидения.

Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов и магистрантов, изучающих цифровые методы обработки изображений.

Vladimir Volokhov

Homepage, e-mail: [email protected]

Материалы курсов и наука

воскресенье, 11 сентября 2016 г.

Курс «Цифровая обработка изображений» 2016

Место проведения : Физический факультет (2-ой учебный корпус), к. 111.

Время: Лекции и практические занятия каждую неделю с 14.15 до 15.50 по вторникам.

Цифровая обработка изображений учебное пособие

С момента выхода первого издания, опубликованного в 1991 году, “Цифровая обработка изображений” получила широкое применение в качестве учебного пособия. В книге дается полный обзор процесса обработки от получения изображения до выделения интересующих данных.

Каждая глава включает упражнения, которые помогут оценить понимание материала, развить полученные навыки и дадут представление о реальных задачах, связанных с обработкой изображений. Большое количество интерактивных упражнений охватывает все рассмотренные в данном пособии темы.

К книге прилагается компакт-диск, содержащий программное обеспечение heurisko, а также большую коллекцию изображений, которые могут быть использованы при выполнении упражнений на компьютере.

Пособие адресовано всем, кто хочет овладеть практическими навыками работы с изображениями.

ISBN: 978-5-94836-122-2
Москва: Техносфера, 2007 г.
ISBN 978-5-94836-122-2
Объем 584 стр., пер. 7БЦ, формат 70х100/16
Ст.- 5 шт.

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ

1 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ИСГрузман ВС Киричук ВП Косых ГИ Перетягин ААСпектор ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов V курса РЭФ специальности Радиотехника и Средства связи с подвижными объектами ) Новосибирск 000

2 УДК Грузман ИС Киричук ВС Косых ВП Перетягин ГИ Спектор АА ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ В ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ: Учебное пособие- Новосибисрк: Изд-во НГТУ Цифровая обработка изображений — интенсивно развивающаяся научная область которая находит все более широкое применение в различных информационных технических системах: радиолокационных связи телевизионных и тп В данном учебном пособии рассмотрены следующие задачи обработки изображений: дискретизации и квантования улучшения визуального качества путем поэлементного преобразования подавления помех и восстановления геометрического преобразования и привязки фотограмметрии и стереовидения Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов и магистрантов изучающих цифровые методы обработки изображений Рецензенты д-р техн наук профессор ГВ Мамчев канд техн наук доцент ВНВасюков Работа подготовлена на кафедре теоретических основ радиотехники НГТУ и кафедре автоматизации физического эксперимента НГУ Новосибирский государственный технический университет 000 г

3 СОДЕРЖАНИЕ Стр Введение 5 ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 6 Дискретизация непрерывных изображений 6 Квантование изображений 4 УЛУЧШЕНИЕ ВИЗУАЛЬНОГО КАЧЕСТВА ИЗОБРАЖЕНИЙ ПУТЕМ ПОЭЛЕМЕНТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Линейное контрастирование изображения 3 Соляризация изображения 4 3 Препарирование изображения 5 4 Преобразование гистограмм эквализация 9 5 Применение табличного метода при поэлементных преобразованиях изображений 34 3 ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ 36 3 Оптимальная линейная фильтрация Уравнение Винера-Хопфа 37 3 Масочная фильтрация изображений при наличии аддитивного белого шума 4 33 Рекуррентная каузальная фильтрация изображений Применение фильтра Винера для некаузальной двумерной фильтрации Двумерное дискретное преобразование Фурье Циклическая свертка Решение уравнения Винера-Хопфа в циклическом приближении Байесовская фильтрация изображений Сущность байесовской фильтрации Марковская фильтрация одномерных последовательностей Двухэтапная марковская фильтрация изображений Медианная фильтрация 69 4 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ 75 4 Модели изображений и их линейных искажений 76 4Формирование изображений 76 4 Размытие вследствие движения смаз) Расфокусировка 8 4 Алгебраические методы восстановления изображений Методы восстановления изображений на основе пространственной фильтрации 87 43Инверсный фильтр Фильтр Винера Компенсация краевых эффектов при восстановлении линейноискаженных изображений 96 3

4 44 Итерационные методы восстановления изображений 00 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПРИВЯЗКА ИЗОБРАЖЕНИЙ 08 5 Геометрические преобразования на плоскости и в пространстве 09 5 Точки и прямые линии на плоскости — двойственность описаний 0 5 Однородные координаты 53 Евклидовы преобразования 54 Аффинные преобразования 3 55 Проективные преобразования 7 56 Полиномиальное преобразование 4 57 Оценивание параметров преобразования 5 5 Восстановление изображения в преобразованных координатах 7 53 Привязка изображений Корреляционный критерий сходства Локальное уточнение сдвига Кросс-спектральная мера сходства Привязка по локальным неоднородностям 4 6 ФОТОГРАММЕТРИЯ И СТЕРЕОВИДЕНИЕ 43 6 Модель регистрирующей камеры 43 6 Связь между различными системами координат Стереоскопическая система Калибровка камеры 5 65 Взаимное ориентирование Поиск сопряженных точек 59 Заключение 66 Литература 66 4

Смотрите так же:  Арбитражный третейский суд москва

5 ВВЕДЕНИЕ Многие отрасли техники имеющие отношение к получению обработке хранению и передаче информации в значительной степени ориентируются в настоящее время на развитие систем в которых информация имеет характер изображений Изображение которое можно рассматривать как двумерный сигнал является значительно более емким носителем информации чем обычный одномерный временной) сигнал Вместе с тем решение научных и инженерных задач при работе с визуальными данными требует особых усилий опирающихся на знание специфических методов поскольку традиционная идеология одномерных сигналов и систем мало пригодна в этих случаях В особой мере это проявляется при создании новых типов информационных систем решающих такие проблемы которые до сих пор в науке и технике не решались и которые решаются сейчас благодаря использованию информации визуального характера В связи с этим в вузовских программах появляются дисциплины направленные на изучение принципов обработки изображений причем приоритетное внимание уделяется цифровым методам привлекательным своей гибкостью Отсутствие учебной литературы является сильным препятствием данному изучению что и побудило авторов к написанию пособия Следует отметить что ограниченный объем не позволил охватить многие важные аспекты проблемы цифровой обработки изображений Авторы пособия читающие курс цифровой обработки изображений в НГТУ и НГУ исходили из своих представлений о важности тех или иных разделов а также опирались на многолетний научно-исследовательский и педагогический опыт Работа над пособием распределилась следующим образом Глава написана совместно ИС Грузманом и АА Спектором главы и 3 — АА Спектором глава 4 — ИС Грузманом глава 5 — ВС Киричуком и ГИ Перетягиным глава 6 — ВС Киричуком и ВП Косых При подготовке пособия авторы использовали известные издания в области цифровых методов обработки изображений а также имеющиеся у них представления об аналогичных дисциплинах присутствующих в учебных планах ряда высших учебных заведений страны Среди них — школы в области цифровой обработки изображений Самарского государственного аэрокосмического университета под руководством ВА Сойфера и ВВ Сергеева и Ульяновского технического университета под руководством КК Васильева Авторы выражают им свою признательность за то сотрудничество к числу результатов которого относится и данное учебное пособие 5

6 Глава ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ Очень редко изображения получаемые в информационных системах имеют цифровую форму Поэтому их преобразование к этому виду является обязательной операцией если предполагается использовать цифровую обработку передачу хранение Как и при одномерных сигналах данное преобразование включает в себя две процедуры Первая состоит в замене непрерывного кадра дискретным и обычно называется дискретизацией а вторая выполняет замену непрерывного множества значений яркости множеством квантованных значений и носит название квантования При цифровом представлении каждому из квантованных значений яркости ставится в соответствие двоичное число чем и достигается возможность ввода изображения в ЭВМ Двумерный характер изображения по сравнению с обычными сигналами содержит дополнительные возможности оптимизации цифрового представления с целью сокращения объема получаемых цифровых данных В связи с этим изучался вопрос о наилучшем размещении уровней квантования а также об использовании различных растров [3] другие аспекты данной задачи Следует однако сказать что в подавляющем большинстве случаев на практике применяют дискретизацию основанную на использовании прямоугольного растра и равномерное квантование яркости Это связано с простотой выполнения соответствующих операций и относительно небольшими преимуществами от использования оптимальных преобразований При использовании прямоугольного растра в окончательном виде цифровое изображение обычно представляет собой матрицу строки и столбцы которой соответствуют строкам и столбцам изображения Дискретизация непрерывных изображений Замену непрерывного изображения дискретным можно выполнить различными способами Можно например выбрать какую-либо систему ортогональных функций и вычислив коэффициенты представления изображения по этой системе по этому базису) заменить ими изображение Многообразие базисов дает возможность образования различных дискретных представлений непрерывного изображения Однако наиболее употребительной является периодическая дискретизация в частности как упоминалось выше дискретизация с прямоугольным растром Такой способ дискретизации может рассматриваться как один из вариантов применения ортогонального базиса использующего в качестве своих элементов сдвинутые δ -функции Далее 6

7 следуя в основном [] подробно рассмотрим основные особенности прямоугольной дискретизации Пусть xн t t) — непрерывное изображение а xi i) -соответствующее ему дискретное полученное из непрерывного путем прямоугольной дискретизации Это означает что связь между ними определяется выражением: xi i ) = x н i t i t ) ) где t t- соответственно вертикальный и горизонтальный шаги или интервалы дискретизации Рис иллюстрирует расположение отсчетов на плоскости t t) при прямоугольной дискретизации Рис Расположение отсчетов при прямоугольной дискретизации Основной вопрос который возникает при замене непрерывного изображения дискретным состоит в определении условий при которых такая замена является полноценной те не сопровождается потерей информации содержащейся в непрерывном сигнале Потери отсутствуют если располагая дискретным сигналом можно восстановить непрерывный С математической точки зрения вопрос таким образом заключается в восстановлении непрерывного сигнала в двумерных промежутках между узлами в которых его значения известны или иными словами в осуществлении двумерной интерполяции Ответить на этот вопрос можно анализируя спектральные свойства непрерывного и дискретного изображений Двумерный непрерывный частотный спектр X н Ω Ω ) непрерывного сигнала xн t t) определяется двумерным прямым преобразованием Фурье: Xн Ω Ω) = xн t t )exp jωt jωt) dtdt ) которому отвечает двумерное обратное непрерывное преобразование Фурье: xн t t) = X н )expj t j t ) d d Ω Ω Ω + Ω Ω Ω 3) 4π 7

Смотрите так же:  Круглосуточный нотариус бабушкинская

8 Последнее соотношение верно при любых значениях t t в том числе и в узлах прямоугольной решетки t = i t t = i t Поэтому для значений сигнала в узлах учитывая ) соотношение 3) можно записать в виде: xi i) = X )expj i t j i t ) d d н + 4π Ω Ω Ω Ω Ω Ω 4) Обозначим для краткости через Sk k) прямоугольный участок в двумерной π + πk частотной области π πk π π π π k k Ω Ω t t t t Вычисление интеграла в 4) по всей частотной области можно заменить интегрированием по отдельным участкам Sk k) и суммированием результатов: xi i) = X ) н π Ω Ω 4 k = k = S k k) exp jω ti + jω t i ) dω dω Выполняя замену переменных по правилу Ω Ω πk t Ω Ω πk t добиваемся независимости области интегрирования от номеров k и k : π t π t πk k xi i) X π = ) н + 4π Ω Ω + t t π π t t k k exp jω ti + jω t i ) dω dω Здесь учтено что exp jπ ki) = при любых целых значениях k и i Данное выражение по своей форме очень близко к обратному преобразованию Фурье Отличие состоит лишь в неправильном виде экспоненциального множителя Для придания ему необходимого вида введем нормированные частоты ω = Ω t ω = Ω t и выполним в соответствии с этим замену переменных В результате получим: 8

9 π π ω k k xi i ) X + π ω + π = ) н 4π t t t t π π k k exp jω i + jω i ) dω dω 5) Теперь выражение 5) имеет форму обратного преобразования Фурье следовательно стоящая под знаком интеграла функция ω k k X ω ω ) X + π ω π + = н ) t t t t 6) k k является двумерным спектром дискретного изображения В плоскости ненормированных частот выражение 6) имеет вид: πk k X Ω t Ω t ) X Ω π = + Ω + t t t t k k н ) 7) Из 7) следует что двумерный спектр дискретного изображения является прямоугольно периодическим с периодами π t и π t по осям частот Ω и Ω соответственно Спектр дискретного изображения X Ω Ω ) образуется в результате суммирования бесконечного количества спектров X н Ω Ω) непрерывного изображения отличающихся друг от друга частотными сдвигами π t и π t Рис качественно показывает соотношение между двумерными спектрами непрерывного риса) и дискретного рисб) изображений а) б) Рис Частотные спектры непрерывного и дискретного изображений Сам результат суммирования существенно зависит от значений этих частотных сдвигов или иными словами от выбора интервалов дискретизации t t 9

10 Допустим что спектр непрерывного изображения X н Ω Ω ) отличен от нуля в некоторой двумерной области в окрестности нулевой частоты т е описывается двумерной финитной функцией Если при этом интервалы дискретизации выбраны так что X н Ω Ω ) = при Ω π t 0 Ω π t то наложения отдельных ветвей при формировании суммы 7) происходить не будет Следовательно в пределах каждого прямоугольного участка Sk k) от нуля будет отличаться лишь одно слагаемое В частности при k = 0 k = 0 имеем: X Ω Ω) = Xн Ω Ω) при Ω π t Ω π t 8) t t Таким образом в пределах частотной области S 00 ) спектры непрерывного и дискретного изображений с точностью до постоянного множителя совпадают При этом спектр дискретного изображения в этой частотной области содержит полную информацию о спектре непрерывного изображения Подчеркнем что данное совпадение имеет место лишь при оговоренных условиях определяемых удачным выбором интервалов дискретизации Отметим что выполнение этих условий согласно 8) достигается при достаточно малых значениях интервалов дискретизации t t которые должны удовлетворять требованиям: t π Ωгр t π Ω гр 9) в которых Ωгр Ωгр — граничные частоты двумерного спектра Соотношение 8) определяет способ получения непрерывного изображения xн t t) из дискретного xi i) Для этого достаточно выполнить двумерную фильтрацию дискретного изображения низкочастотным фильтром с частотной характеристикой t t при Ω π t Ω π t K jω jω) = 0 при других Ω Ω 0) Спектр изображения на его выходе содержит ненулевые компоненты лишь в частотной области S 00 ) и равняется согласно 8) спектру непрерывного изображения X н Ω Ω) Это означает что изображение на выходе идеального фильтра низких частот совпадает с xн t t) Таким образом идеальное интерполяционное восстановление непрерывного изображения выполняется при помощи двумерного фильтра с прямоугольной частотной характеристикой 0) Нетрудно записать в явном 0

11 виде алгоритм восстановления непрерывного изображения Двумерная импульсная характеристика восстанавливающего фильтра которую легко получить при помощи обратного преобразования Фурье от 0) имеет вид: ht t ) = sin πt t) sin πt t) πt t πt t Продукт фильтрации может быть определен при помощи двумерной свертки входного изображения и данной импульсной характеристики Представив входное изображение xвх t t) в виде двумерной последовательности δ — функций xвх t t = x i i δ t i t δ t i t i i после выполнения свертки находим: t i t t t i t t xt t ) xi i) sin[ π ) ] sin[ π ) ] = ) π t i t ) t π t i t ) t i i Полученное соотношение указывает способ точного интерполяционного восстановления непрерывного изображения по известной последовательности его двумерных отсчетов Согласно этому выражению для точного восстановления в роли интерполирующих функций должны использоваться двумерные функции вида sin xx Соотношение ) представляет собой двумерный вариант теоремы Котельникова-Найквиста Подчеркнем еще раз что эти результаты справедливы если двумерный спектр сигнала является финитным а интервалы дискретизации достаточно малы Справедливость сделанных выводов нарушается если хотя бы одно из этих условий не выполняется Реальные изображения редко имеют спектры с ярко выраженными граничными частотами Одной из причин приводящих к неограниченности спектра является ограниченность размеров изображения Изза этого при суммировании в 7) в каждой из зон Sk k) проявляется действие слагаемых из соседних спектральных зон При этом точное восстановление непрерывного изображения становится вообще невозможным В частности не приводит к точному восстановлению и использование фильтра с прямоугольной частотной характеристикой Особенностью оптимального восстановления изображения в промежутках между отсчетами является использование всех отсчетов дискретного изображения как это предписывается процедурой ) Это не всегда удобно часто требуется восстанавливать сигнал в локальной области опираясь на некоторое небольшое количество имеющихся дискретных значений В этих случаях целесообразно применять квазиоптимальное

Смотрите так же:  Экспертиза кальянного табака

12 восстановление при помощи различных интерполирующих функций Такого рода задача возникает например при решении проблемы привязки двух изображений когда из-за геометрических расстроек этих изображений имеющиеся отсчеты одного из них могут соответствовать некоторым точкам находящимся в промежутках между узлами другого Решение этой задачи более подробно обсуждается в последующих разделах данного пособия а) б) в) г) Рис 3 Влияние интервала дискретизации на восстановление изображения «Отпечаток пальца» Рис 3 иллюстрирует влияние интервалов дискретизации на восстановление изображений Исходное изображение представляющее собой отпечаток пальца приведено на рис 3а а одно из сечений его нормированного спектра — на рис 3б Данное изображение является дискретным а в качестве граничной частоты использовано значение ωгр = π 8 Как следует из рис 3б значение спектра на этой частоте пренебрежимо мало что гарантирует качественное восстановление По сути дела наблюдаемая на рис 3а картина и является результатом восстановления непрерывного изображения а роль восстанавливающего фильтра выполняет

13 устройство визуализации — монитор или принтер В этом смысле изображение рис 3а может рассматриваться как непрерывное Рис 3вг показывают последствия от неправильного выбора интервалов дискретизации При их получении осуществлялась дискретизация непрерывного изображения рис 3а путем прореживания его отсчетов Рис 3в соответствует увеличению шага дискретизации по каждой координате в три а рис 3г — в четыре раза Это было бы допустимо если бы значения граничных частот были ниже в такое же число раз В действительности как видно из рис 3б происходит нарушение требований 9) особенно грубое при четырехкратном прореживании отсчетов Поэтому восстановленные при помощи алгоритма ) изображения оказываются не только расфокусированными но и сильно искажают текстуру отпечатка а) б) в) г) Рис 4 Влияние интервала дискретизации на восстановление изображения «Портрет» На рис 4 приведена аналогичная серия результатов полученных для изображения типа портрет Последствия более сильного прореживания в четыре раза на рис 4в и в шесть раз на рис 4г) проявляются в основном в потере четкости Субъективно потери качества представляются менее значительными чем на рис 3 Это находит свое объяснение в значительно меньшей ширине спектра чем у изображения отпечатка пальца Дискретизация 3

14 исходного изображения соответствует граничной частоте ωгр = π 86 Как видно из рис 4б это значение намного превышает истинное значение ω гр Поэтому увеличение интервала дискретизации иллюстрируемое рис 3вг хотя и ухудшает картину все же не приводит к таким разрушительным последствиям как в предыдущем примере Квантование изображений При цифровой обработке изображений непрерывный динамический диапазон значений яркости делится на ряд дискретных уровней Эта процедура называется квантованием Квантователь преобразует непрерывную переменную x в дискретную переменную x кв принимающую конечное множество значений < r r L >Эти значения называются уровнями квантования В общем случае преобразование выражается ступенчатой функцией рис 5) Если яркость x отсчета изображения принадлежит интервалу d j d j+ ] те когда d j I agree.

ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ. Часть I. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ (учебное пособие). Автор: Грудин Б.Н., редактор: Александрова Л.И.

В учебном пособии рассматривается комплекс аппаратно-программных средств для обработки изображений на персональных ЭВМ. Представлены алгоритмы и описания программ для улучшения изображений и их обработки с использованием методов математической обработки и статистического анализа, а также задания и контрольные вопросы для выполнения лабораторного практикума.

Для студентов специальности “Вычислительные машины, комплексы и сети”.

Другие публикации:

  • Шляков увольнение Шляков Сергей Анатольевич (родился 5 октября 1955 года, Челябинск, РСФСР, СССР) — российский государственный деятель. Генерал-полковник. Первый заместитель министра Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации […]
  • Приказ мчс россии 341 от 03072019 Приказ МЧС России от 3 июля 2015 г. № 341 "Об утверждении свода правил "Пожарная охрана предприятий. Общие требования" В соответствии с Федеральным законом от 22 июля 2008 г. № 123-ФЗ "Технический регламент о требованиях пожарной безопасности", Указом […]
  • Квалификационные требования кадрового работника Квалификационные требования к соискателю ("Кадровик. Кадровое делопроизводство", N 8, август 2008 г.) Квалификационные требования к соискателю "Кадровик. Кадровое делопроизводство", N 8, август 2008 г. Актуальная версия заинтересовавшего Вас документа […]
  • Приказ гквв мвд россии 40 Приказ МВД РФ от 26 марта 2008 г. № 275 “Об окладах денежного содержания военнослужащих внутренних войск МВД России, проходящих военную службу по контракту” В соответствии с Федеральным законом от 27 мая 1998 г. N 76-ФЗ «О статусе военнослужащих»*(1), […]
  • Образец резюме адвокат Профессия Адвокат: пример (образец) резюме Профессия адвокат является одной из самых важных для современного общества. Зачастую именно представители адвокатского цеха являются последней надеждой на защиту прав частного или физического лица. Образец (пример) […]
  • Договор купли продажи котёнка Договор купли-продажи племенного животного (для ознакомления - образец!) ДОГОВОР ПРОДАЖИ КОТЕНКА Заводчик Мейн кунов Я _________________ фамилия, имя, отчество покупателя _______________ ____________________ Прожив. по адресу ________________ город, […]

Вам также может понравиться